- La traslación es una transformación de cuerpo rígido que mueve objetos sin deformarlos, es decir, se traslada cada punto del objeto la misma distancia. Se traslada un segmento de línea recta al aplicar la ecuación de transformación en cada uno de los extremos de la línea y se vuelve a trazar la línea entre las nuevas posiciones de los extremos.
- Convertimos un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, tx y ty a la posición de coordenadas original (x, y) para mover el punto a una nueva posición (x’, y’). El par de distancia de traslación (tx’, ty) se llama vector de traslación o vector de cambio.
- Una transformación de escalación altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice por los factores de escalación Sx y Sy para producir las coordenadas transformadas (x’, y’):
- Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano de xy . Para generar una rotación, especificamos un ángulo de rotación θ y la posición (x r , y r ) del punto de rotación (o punto pivote) en torno al cual se gira el objeto. Los puntos también pueden ser rotados un ángulo θ con respecto al Origen X’= x ⋅ cosθ − y ⋅ senθ Y’= x ⋅ senθ + y ⋅ cosθ.
Una transformación de escalación altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice por los factores de escalación s x y s y para producir las coordenadas transformadas (x’, y’).
Los objetos se definen mediante un conjunto de puntos. Las transformaciones son procedimientos para calcular nuevas posiciones de estos puntos, cambiando el tamaño y orientación del objeto.
Las operaciones básicas de transformación son:
-Traslación
-Escalamiento
-Rotación.
Escalamiento
Rotación
Gira los puntos de una figura alrededor de un punto fijo. De la figura se obtiene de forma. Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano de xy .
Para generar una rotación, especificamos un ángulo de rotación θ y la posición (x r , y r ) del punto de rotación (o punto pivote) en torno al cual se gira el objeto.
Traslación
representación matricial de transformaciones bidimensionales
Las coordenadas (x-y) de un objeto se transforman a (x’ – y’) de acuerdo a las formulas. El par se conoce como vector de traslación. Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, tx y ty la posición de coordenadas original (x,y)
El par de distancia de traslación se llama vector de traslación o vector de cambio. Se pueden expresar las ecuaciones anteriores en una sola ecuación matricial al utilizar vectores de columna para representar las posiciones de coordenadas y el vector de traslación Los polígonos se trasladan al sumar el vector de traslación a la posición de coordenadas de cada vértice y se vuelve a generar el polígono utilizando un nuevo conjunto de coordenadas y vértices y las especificaciones actuales de los atributos.
representación
matricial de transformaciones bidimensionales
Las representaciones matriciales obtenidas hasta ahora para traslación,
escalamiento y rotación son, respectivamente
Problema: La traslación es tratada de forma diferente
Solución: Utilizar un sistema de coordenadas homogéneas
En las coordenadas homogéneas cada punto se representa siguiendo la
forma (x,y,W).
Dos vectores en coordenadas homogéneas (x,y,W) y (x',y',W')
representan al mismo punto si y sólo si uno es múltiplo del otro.
Para W ≠ 0 se obtiene los puntos x / W, y / W a los cuales se les llama
“coordenadas cartesianas del punto homogéneo”.
P'
= T + P
P'
= S ⋅ P
P'
= R⋅ P
Ec. 3
Ec. 5
Ec. 7
Coordenadas homogéneas y representación
matricial de transformaciones bidimensionales
Las ecuaciones de traslación (Ec. 1) pueden expresarse como una
matriz 3x3 en coordenadas homogéneas.
representación
matricial de transformaciones bidimensionales
El producto de una secuencia arbitraria de matrices de rotación, traslación y
escalamiento constituyen transformaciones afínes, teniendo la propiedad
de conservar el paralelismo de las líneas, pero no longitudes ni ángulos .
Un cubo unitario rotado 45º en sentido horario y luego escalado no uniformemente. El
resultado es una transformación afín de la figura inicial, donde se mantiene el
paralelismo de las líneas, pero no las longitudes ni ángulos originales.
Cubo Unitario 45º Escalado en x,
no escalado en y
Coordenadas homogéneas y representación
matricial de transformaciones bidimensionales
Cubo unitario
estirado en x
Cubo unitario
estirado en y
Sesgado (shear).
Existen dos tipos de sesgados en 2D, con respecto al eje x y con
respecto al eje y.
Un cubo unitario y el efecto de aplicarle la transformación de sesgado.
En cada caso la longitud de las líneas oblicuas es mayor a 1.
Coordenadas homogéneas y representación
matricial de transformaciones bidimensionales
La matriz de transformación para el sesgado en el eje x se expresa como
Análogamente, la matriz de transformación para el sesgado en el eje
representación
matricial de transformaciones bidimensionales
El propósito básico de componer transformaciones es ganar eficiencia
aplicando una sola transformación compuesta a un punto, en vez de
aplicar una serie de transformaciones, una tras otra.
Si se considera la rotación de un objeto con respecto a un punto arbitrario
P1
, podemos subdividir el problema aplicando tres transformaciones
fundamentales:
1) Trasladar de forma que P1
coincida con el origen
2) Rotar
3) Trasladar de forma que el punto en el origen retorne a P1
La secuencia propuesta se ilustra en la siguiente figura, en donde el
objeto es rotado con respecto al punto P1
(x1
,y1
). La primera traslación es
T(-x1
,-y1
), haciéndose por último la traslación inversa T(x1
,y1
)
Biografia:
https://es.slideshare.net/xomin100/transformaciones-bidimensionales
https://www.fing.edu.uy/inco/cursos/compgraf/Clases/2012/05-Transformaciones%20Geometricas.pdf (pag17)